Das Unitaritätsdreieck

Wenn man die Unitaritätsbeziehung aus Gleichung (1.3) auf die erste und dritte Spalte der CKM-Matrix anwendet, erhält man folgende Beziehung:

$$V_{\rm ud}V_{\rm ub}^* + V_{\rm cd}V_{\rm cb}^* + V_{\rm td}V_{\rm tb}^* = 0$$ (1.5)

Es gilt in guter Näherung $V_{\rm ud} \approx 1$, $V_{\rm tb} = 1$ und $V_{\rm cd} = -\lambda$, und damit folgt aus Gleichung (1.5):

$$V_{\rm ub}^* + V_{\rm td} = \lambda~V_{\rm cb}^*$$ (1.6)

Diese Gleichung läßt sich geometrisch in der komplexen ( $\rho, \eta$)-Ebene als sogenanntes Unitaritätsdreieck darstellen (Abbildung 1.1). In der hier gewählten Darstellung wurden die Längen mit dem Faktor $\frac{1}{\left\vert \lambda \cdot V_{\rm cb} \right\vert}$ skaliert, damit die beiden unteren Ecken des Dreiecks an den Punkten (0, 0) und (1, 0) liegen.

Abbildung: Das Unitaritätsdreieck der CKM-Matrix in der ($\rho$, $\eta$)-Ebene der Wolfenstein-Parametrisierung

CP-Verletzung ist im Standardmodell nur dann möglich, wenn $\eta \neq 0$ und damit die Fläche des Unitaritätsdreiecks ungleich Null ist. Für die CKM-Matrix bedeutet dies, daß in der oben gewählten Parametrisierung die Amplituden $V_{\rm ub}$ und $V_{\rm td}$ eine imaginäre Komponente haben.

Als Vorgriff auf den nächsten Abschnitt sei bereits hier erwähnt, daß die Meßgröße bei HERA-B $sin 2\beta$ ist. Das Unitaritätsdreieck in Abbildung 1.1 zeigt, daß dann für $\beta \neq 0$ auch $\eta \neq 0$ sein muß.

Abbildung 1.2 zeigt die Position ( $\eta, \rho$) der Dreiecksspitze, wo sie aufgrund von neuen Messungen und Analysen erwartet wird [Par98]. Danach liegt der Wert bei $\sin 2\beta = 0,73 \pm 0,08$.

Abbildung: Die Position der Spitze des Unitaritätsdreiecks in der $\overline{\rho}$- $\overline{\eta}$-Ebene, aus [Par98]. Aufgetragen sind $\overline{\rho} = \rho(1 - \frac{\lambda^2}{2})$ und $\overline{\eta} = \eta(1 - \frac{\lambda^2}{2})$. Die schwarzen Linien geben den 68 % und den 95 % Vertrauensbereich an, wie er von den gegenwärtigen Daten und Analysen (graue und gepunktete Kurven) vorhergesagt wird.

Eine Analyse [OPA98] der OPAL-Kollaboration bei LEP am CERN (Genf) im Januar 1998 ergab nach der Auswertung von 24 Ereignissen $\sin 2\beta = 3,2^{+1,8}_{-2,0}(stat) \pm 0,5(syst)$.

Im September 1998 veröffentlichte die CDF-Kollaboration beim Tevatron am Fermilab (Chicago) eine Messung [CDF98], die ungefähr 200 Ereignisse beinhaltet und den Wert $\sin 2\beta = 1,8 \pm 1,1(stat) \pm 0,3(syst)$ ergibt. Im Februar 1999 folgte ein auf ungefähr 400 Ereignissen beruhendes vorläufiges Resultat [CDF99] mit $\sin 2\beta = 0,79^{+0,41}_{-0,44}(stat+syst)$.

Damit scheint aber zunächst fast nur die Aussage möglich, daß $0 < \sin 2\beta < 1$, wie man dies mathematisch im Standardmodell auch erwarten würde. Es bleibt damit HERA-B vorbehalten, den Wert von $sin 2\beta$ genau zu messen, d. h. die Fehlergrenzen deutlich zu verkleinern, so daß eine signifikante Aussage über CP-Verletzung im Standardmodell möglich ist.