CKM-Matrix

Die Mischung der Quarks durch Abstrahlung von $\rm W^\pm$-Bosonen wird beschrieben durch $g \cdot V_{ik}$, wobei $g$ die Kopplungskonstante der Schwachen Wechselwirkung ist und $V_{ik}$ die Amplitude beschreibt, mit der sich ein Quark $i$ in ein Quark $k$ umwandelt.

Im Standardmodell werden die neun möglichen Kopplungen in der Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Mischungs-Matrix $\rm V_{CKM}$ (CKM-Matrix) [Cab63], [Kob73] zusammengefaßt:

$$V_{CKM} = \left( \begin{array}{c c c} V_{\rm ud} & V_{\rm us} & V... ...m cs} & V_{\rm cb} \\ V_{\rm td} & V_{\rm ts} & V_{\rm tb} \end{array} \right)$$ (1.1)

Eine Forderung im Standardmodell besagt, daß die Mischungsmatrix $\rm V_{CKM}$ unitär sein muß, das bedeutet:

$$V_{\rm CKM}V_{\rm CKM}^{\dagger} = V_{\rm CKM}^{\dagger}V_{\rm CKM} = \mathbbm{1}$$ (1.2)

wobei $\rm V_{CKM}^{\dagger}$ die komplex konjugierte Matrix ist.
Für die einzelnen Elemente der Matrix gilt dann:

$$\sum_{j} V_{ji} V^\ast_{jk} = \delta_{ik}.$$ (1.3)

Durch die Unitaritätsbeziehung und die Unbeobachtbarkeit der Quarkphasen reduziert sich die Zahl der unabhängigen Parameter der CKM-Matrix auf 4. Diese können interpretiert werden als drei Mischungswinkel der drei Quarkgenerationen untereinander und einer komplexen Phase.

Diese Phase ist die einzige Möglichkeit, CP-Verletzung in natürlicher Weise in das Standardmodell einzubauen. Für diesen Fall einer komplexen CKM-Matrix sind die Kopplungen von Quarks und Antiquarks nicht gleich, und es werden sowohl eine Zustandsmischung als auch direkte CP-Verletzung vorausgesagt.

Mit den experimentell beobachteten kleinen Mischungswinkeln hat sich als Näherungsform der CKM-Matrix die Wolfenstein-Parametrisierung [Wol83] mit den vier reellen und unabhängigen Parametern $\lambda, A, \rho$ und $\eta$ durchgesetzt:

$$V = \left( \begin{array}{c c c} 1-\frac{\lambda^2}{2} & \lambda &... ...^2 A \\ \lambda^3 A (1 - \rho - i \eta) & -\lambda^2 A & 1 \end{array} \right)$$ (1.4)

mit $\lambda = \sin \theta _{Cabibbo}$ = 0,22.

Die Wolfenstein-Parametrisierung ist eine Entwicklung in $\rm\lambda$ bis zur Ordnung ${\cal O}(\lambda^3)$ und zeigt deutlich die hierarchische Struktur der einzelnen Elemente. Da $\rm\lambda$ klein ist, zeigt die Wolfenstein-Parametrisierung, daß die Diagonalelemente ungefähr 1 und die Nichtdiagonalelemente dagegen klein sind.

Da der Parameter $\eta$ für die CP-Verletzung innerhalb des Standardmodells verantworlich ist, gilt im folgenden das Interesse der Bestimmung dieses Parameters.

Aus $\left\vert \frac{\rm V_{ub}}{\rm V_{cb}} \right\vert = 0,08 \pm 0,15 ~~\cite{ReviewOfParticlePhysics98}$ und $\lambda = {\rm sin}\theta_{Cabibbo} = 0,2205 \pm 0,0018~~\cite{ReviewOfParticlePhysics98}$ erhält man jedoch nur eine gemeinsame Beziehung für $\rho$ und $\eta$

$$\sqrt{(\rho^2 + \eta^2)} = \left\vert \frac{\rm V_{ub}}{\rm V_{cb... ...vert \cdot \frac{1}{\lambda}~=~0,36 \pm 0,09~~\cite{Rosner97}, \cite{Stone96},$$

und leider ist eine Einzelbestimmung der beiden Parameter nur innerhalb sehr großer Fehler möglich.