Auswertung der Multi-Photoelektron-Spektren

Die Erzeugung der Photoelektronen an der Photokathode des PMs ist ein diskreter Prozeß, wobei die Individualprozesse voneinander unabhängig sind. Die Verteilung der Photoelektronen wird daher durch die Poissonstatistik beschrieben:

$$P(n, \mu) = \frac{\mu^n \cdot e^{-\mu}}{n!}$$ (3.7)

Dabei ist P die Wahrscheinlichkeit, n Photoelektronen zu erzeugen, wenn im Mittel $\mu$ Photoelektronen entstehen.

Die einzelnen Photoelektronen werden auf dem Weg zur jeweils nächsten Dynode aufgrund der angelegten Betriebsspannung des Photomultipliers beschleunigt und können so dort weitere Sekundärelektronen freisetzen. Das Signal nach diesem Verstärkungsprozeß wird durch eine Gaußverteilung beschrieben.
Das Ausgangssignal des Photomultipliers ist also eine Überlagerung von Gaußkurven, deren Amplituden poissonverteilt sind. Mathematisch entspricht dies der Faltung einer Gauß- mit einer Poissonfunktion:

$$y(x) = a \sum_{n=0}^{n_{max}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{single}} e^{\frac{-(x-nx_{single})^2}{2n\sigma^2_{single}}} \cdot P(n, \mu)~~,$$ (3.8)

mit
$x_{single}$ = Kanalzahl des Single-Elektron-Peaks
$\sigma_{single}$ = Breite des Single-Elektron-Peaks
$n$ = Anzahl der Photoelektronen
$P(n, \mu)$ = Poissonverteilung aus Gleichung (3.7).

Diese Funktion $y(x)$ muß an das Pulshöhenspektrum des Photomultipliers angepaßt werden. Dabei sind die Amplitude a und die mittlere Photoelektronenzahl $\mu$ die freien Parameter. Die Werte für die Kanalposition $x_{single}$ und die Breite $\sigma_{single}$ werden aus der Anpassung einer Gaußfunktion an das Single-Photoelektron-Spektrum übernommen (siehe Abschnitt 3.6.4).
Bei mittleren Photoelektronenzahlen zwischen 2 und 6 ist es ausreichend, für die Anpassung die Summe in Gleichung (3.8) bei $n_{max}$ = 15 abzubrechen.

Das Anpassen einer Gaußfunktion an das Single-Photoelektron-Spektrum und der Funktion $y(x)$ aus Gleichung (3.8) an des Multi-Photoelektron-Spektrum wurde mit dem Programm Mathematica [Mat88] durchgeführt. Die Abbildung 3.13 zeigt zwei Beispiele für die Auswertung der Multi-Photoelektron-Spektren.

Abbildung 3.13: Multi-Photoelektron-Spektren (Punkte) mit Mathematica-Anpassung (durchgezogene Linie) für 2,3 (links) und 5,3 Photoelektronen (rechts). Aufgetragen sind die Anzahl der Einträge als Funktion des ADC-Kanals.